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审稿老师：李井军　　　　　　责　　编：郭金娟

高考综合复习：万有引力和天体运动专题

　　●知识网络

　　●高考考点
　　考纲要求：

知识点	要　　求	说　　明
万有引力定律	Ⅱ
万有引力定律的应用，人造地球卫星的运动（限于圆轨道）	Ⅱ
宇宙速度	Ⅰ

　　历年实测：

年份	试卷类型	题号	知识点	能力	分值	题型
2001	天津理综	31	重力和万有引力	理解分析综合推理	28	计算题
2001	北京春季	18	万有引力定律	理解分析综合推理	12	计算题
2001	上海物理	4	万有引力定律	理解推理	5	选择题
2003	北京春季	20	同步卫星知识	理解推理	6	选择题
2003	江苏物理	14	人造卫星的基本知识	理解分析综合推理	12	计算题
2003	全国理综	24	万有引力定律	理解分析综合推理	15	计算题
2004	上海物理	3	人造卫星的基本知识	理解推理	5	选择题
2004	北京理综	20	重力和万有引力	理解推理	6	选择题
2004	江苏物理	4	人造卫星的基本知识	理解推理	4	选择题
2004	广东物理	16	同步卫星知识	理解分析综合推理	16	计算题
2004	全国理综1	23	重力和万有引力	理解分析综合推理	16	计算题
2004	全国理综3	17	天体运动的基本关系	理解推理	6	选择题
2004	北京春季	24	人造卫星的基本知识	理解分析综合推理	16	计算题
2004	上海春季	27	圆周运动的基本知识	理解推理	3	选择题
2004	上海春季	28	重力和万有引力	理解推理	3	填空题
2005	豫冀皖闽浙等十省理综	16	天体运动基本关系	理解推理	6	选择题
2005	黑蒙桂理综	28	天体运动基本关系	理解推理	6	选择题
2005	云甘贵渝川理综	21	天体运动基本关系	理解推理	6	选择题
2005	北京理综	20	天体运动基本关系	理解推理	6	选择题
2005	天津理综	21	天体运动基本关系	理解推理	6	选择题
2005	江苏物理	5	天体运动基本关系	理解推理	4	选择题
2005	广东综合	27	天体运动基本关系	理解推理	3	选择题
2005	广东物理	15	天体运动基本关系	理解推理	3	选择题

　　复习指导：
　　从近五年的高考试题来看，对人造地球卫星和天体的运动考查频率很高，也就是对万有引力定律和圆周运动结合起来进行考查，题型有选择题和计算题，05高考中，至少有5道理综试题涉及天体运动方面的运算，广东物理第15题则将理论和方法考查综合在一起。另外与其他学科综合以及与新的前沿知识联系起来命题也是题目的一大特点。

　　本考点为高考每年的必考内容，由于航天技术、人造地球卫星属于现代科技发展的重要领域，有关人造卫星问题的考查频率会越来越高，加上载人航天的成功和中国的探月计划的实施，这些都是命题的热点内容，估计将要以此为背景进行命题。

　　●要点精析
　　☆重力和万有引力
　　重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可认为二者大小相等，即 （黄金代换式），式中g₀为地球表面附近的重力加速度，R₀为地球的半径．所以在求第一宇宙速度时，可以用 ，也可以用

　　☆星球表面及其某一高度处的重力加速度的求法：
　　1．地球表面的重力加速度：
　　 　由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g。则根据万有引力定律 （R₀为地球的半径）。该式也适用于其他星体表面。

　　2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律： （R₀为地球的半径）

　　☆随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度
　　放于地面上的物体随地球自转所需的向心力由地球对物体的引力和地面支持力的合力提供；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对它的引力提供．两个向心力的数值相差很多，如质量为 1kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N。对应的两个向心加速度的计算方法也不同，譬如放于赤道上的物体随地球自转的向心加速度 ，式中T为地球自转周期，R₀为地球半径；卫星绕地球环绕运行的向心加速度 ，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离。

　　☆万有引力和天体运动：
　　1．基本方法：
　　　 把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即： ，应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。

　　2．天体质量M、密度ρ的估算：
　　 　测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期T，由得：， （当卫星绕天体表面运动时， ）

　　3．卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：
　　（1）由 得： ，即 ；（r越大，v越小）

　　（2）由 得： ，即 ；（r越大，ω越小）

　　（3）由 得： ，即 ；（r越大，T越大）

　　说明：
　　①卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。

　　②对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度ω、向心加速度a增大。

　　4．运行速度和发射速度：
　　　 对于人造地球卫星，由 得： ，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行速度，其大小随轨道半径的增大而减小。但由于人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，势能增大，所以向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难，将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大。宇宙速度就是常见的发射速度：

　　（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v＝7.9km／s；（地球卫星的最小发射速度）

　　（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v＝11.2km／s；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）

　　（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v＝16.7km／s．（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）

　　5．卫星的变轨问题：
　　 　卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。由 得： ，由此可知轨道半径r越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度突然改变时，F和 不再相等，因此就不能再根据 来确定r的大小。当 时，卫星做近心运动；当 时，卫星做离心运动．

　　6．地球同步卫星：
　　（1）所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，T＝24小时．

　　（2）同步卫星必位于赤道上方 h处，且 h是一定的。

　　证明如下：

　　如图假设卫星在轨道 B上跟着地球的自转同步地作匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力F_引，F_引中除用来作向心力的F₁外，还有另一部分F₂，由于F₂的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行。

　　由 得： （ω₀为地球自转的角速度）

　　得h＝r－R₀＝35800km是一个定值。

　　（3）环绕速度：在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速度也一定，且为v＝3.08（km／s）

　　（4）变轨道发射：发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射，如图：

　　首先，利用第一级火箭将卫星送到180～200km的高空，然后依靠惯性进入圆停泊轨道（A）；当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道（B），且轨道的远地点（D）为35800km；当到这远地点时，卫星启动发动机，然后改变方向进入同步轨道C。这种发射方法有两个优点：一是对火箭推力要求较低；二是发射场的位置不局限在赤道上。

　　●精题精讲
　　例题1. 一火箭内的实验平台上放有测试仪器，火箭启动后以加速度 g／2竖直加速上升，达到某高度时，测试仪器对平台的压力减为启动前的17/18，求此时火箭距地面的高度。（取地球半径R= 6.4×10³km）

　　解析：
　　在分析物体受力时，要根据具体情况来确定万有引力的影响，本题中，物体所受的万有引力和平台对其支持力的合力是改变物体运动状态的原因，研究方法与动力学分析问题的方法相同。

　　分析仪器受力情况：启动前，仪器是在地面处，所受地球引力亦即重力，此时仪器处于平衡状态，则有：
　　

　　到达待求高度时仪器受到地球引力设为F₂，则：
　　

　　设此时平台支持力为F_N2，对仪器由牛顿第二定律有：
　　

　　由题给条件：
　　

　　由以上各式可得
　　

　　解得 ．

　　点评：
　　天体运动问题也涉及到“超重”和“失重”现象。例如当卫星进入预定轨道前加速上升以及卫星返回地面时减速下降，卫星上的物体处于“超重”状态，与地面上的升降机里情况完全相同。进入轨道后只在地球引力作用下做圆周运动时，则出现“完全失重”，此时，卫星或卫星上的物体所受地球引力全部作为环绕地球运动的向心力，因而不会产生与其他物体挤压、拉伸等形变效果。因此，卫星所携仪器凡工作原理与重力作用效果有关的，在卫星上均无法使用，如天平、水银气压计等。

　　例题2. 把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×10⁸km，已知万有引力常量G＝6.67×10^－11N·m²/kg²，则可估算出太阳的质量大约是多少kg？（结果取一位有效数字）

　　解析：
　　题干给出地球轨道半径：r＝1.5×10⁸km，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，故周期T＝365×24×3600＝3.15×10⁷s

　　万有引力提供向心力

　　故太阳质量：

　　点评：
　　本方法利用的是卫星运动的有关参量（如r，T），求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身质量，同学们应切记这一点。

　　本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入二位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四会五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。

　　例题3. 某人造卫星距地面h米，地球半径为R、质量为M，地面重力加速度为g，万有引力恒量为G．
　　（1）分别用h、R、M、G表示卫星周期T、线速度v、角速度ω。
　　（2）分别用h、R、g表示卫星周期T、线速度v、角速度ω。

　　解析：
　　（1）根据向心力来自万有引力得：
　　　 　
　　　　 得： ， ，

　　（2）卫星在地球表面上受的万有引力近似等于mg：
　　　　 由 得到 代入得
　　　　 ，
　 　　　

　　点评：
　　在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用，如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地面附近的重力加速度g＝9.8m/s；地球自转周期T＝24h，公转周期T＝365天，月球绕地球运动的周期约为30天等。

　　有些基本常识，尽管题目没有明显给出，必要时可以直接应用，如物体在地球表面受到地球的引力近似等于物体重力，地球自转周期T＝24小时，地球公转周期T＝365天。

　　例题4. 如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是：（　 ）

　　A．b、c的线速度大小相等，且大于a的速度
　　B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
　　C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的c
　　D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大

　　解析：
　　因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等，又b、c轨道半径大于a轨道半径，由 知v_b＝v_c＜v_a，故A选项错；由加速度 ，可知a_b＝a_c＜a_a，故B选项措；

　　当c加速时，c受的万有引力 ，故它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速时，b受到的万有引力 ，它将偏离原轨道，而离圆心越来越近，所以无论如何c追不上b，b也等不到c，故C选项错；对这一选项，不能用 来分析b、c轨道半径的变化情况；

　　对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视作稳定运行，由 知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确。

　　答案：D

　　点评：
　　稳定运行的卫星速度变化时，轨道半径会相应地变化，这种情况下速度变化是轨道半径变化的原因，速度变大，使轨道半径变大，速度减小，使轨道半径减小。而不同轨道半径上稳定运行卫星的速度与轨道半径不是这样的关系，稳定运行速度随半径的增加而减小。要注意区分两种情况。

　　例题5. 地球同步卫星到地心的距离r可由 求出。已知式中a的单位是m， b的单位是s，c的单位是m／s²，则：（　 ）
　　A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度；
　　B．a是地球半径，b是同步卫星统地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
　　C．a是赤道周长，b是地球自转周期，c是同步卫星的加速度；
　　D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度

　　解析：
　　本题题目设计新颖，考查学生对有关同步卫星知识掌握的情况以及逻辑推理、等效变换、分析类比等能力．

　　由 ，可得： 　　　　　　　　　　 　　　　　　　①

　　与题干中给出的 相比需再做进一步处理。

　　考虑到c的单位是m／s²，是加速度的单位，于是引入重力加速度： 　　 ②

　　②式中g为同步卫星的加速度，r为同步卫星到地心距离，由①②两式可得 ，进而得 ，显然与选项不符。

　　引入地球表面处的重力加速度g₀， 　　　　　　　 　　　　　　　　　　③

　　由①③可得 与 相比，形式相同，并且符合选项中的要求。

　　对于同步卫星，其绕地心运动的周期与地球自转周期相同。

　　答案：AD

　　点评：
　　此题不能靠单纯分析量纲来验证结论，各选项都符合量纲，无法求解。要结合同步卫星的知识进行推导，推导的方向是既要符合题目中给出的 形式，又要符合选项的要求。在推导的过程中思路要清晰，量纲要相符、形式要相同，表面上看是一件很难的事，其实只要试几次即可。

　　例题6. 2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已和地球的半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间。（要求用题给的已知量的符号表示）

　　解析：
　　本题是结合现代科技前沿的实际问题，考查学生多方面的知识和能力。考查的知识有：有关同步卫星的概念和知识、万有引力定律与匀速圆周运动的动力学方程、重力加速度g的决定因素、光的传播等物理内容；与地理的结合，考查地理经、纬度的概念等。在考查能力方面着重考查学生的空间想象能力、物理问题转化为数学模型的能力及数学计算能力等。

　　设：地球的质量为M，卫星的质量为m，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，

　　由万有引力定律和牛顿定律有： ，式中G为万有引力恒星，

　　因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有

　　因 得GM＝gR²

　　设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示：

　　由余弦定理得

　　所求时间为

　　由以上各式得
　　

　　点评：
　　实际中的问题不是依靠背一两个定律或公式就能解决的，遇到问题首先要在头脑中建立起能反映题目所描述物理情景的空间图景，再把这三维空间图变成可画在纸上的二维图，这一步是解本题的关键，也是对学生空间想象能力的考查。如果画不出二维图，不可能利用余弦定理得到嘉峪关到卫星的距离与其他量的关系，解物理题往往离不开作图，要有这方面的意识和养成作图的习惯。其次是对题目叙述的情景和过程进行深入分析，情景和过程分析清楚了，需要哪些规律和公式也就明确了，特别是对较为复杂的物理过程，更要在分析过程上下功夫，只有真正把过程分析清楚、分析透彻了，才能保证解题方法正确。

　　拓展：
　　某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12h内有多长时间该视察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

　　解析：
　　设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，则根据万有引力定律和圆周运动的知识有：
　　 　　　　　　　　　　 　　　①
　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　②
　　由①②两式可得卫星到地心的距离： 　③
　　春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心，

　　由图可知当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它。
　　据此再考虑到对称性有： 　　　　　　 ④
　　又 　　　　　　　　　　　　　　　 　⑤
　　由以上各式解得：

　　例题7. 两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，观测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

　　解析：
　　设两星质量分别为M₁和M₂，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为和。
　　由万有引力定律和圆周运动知识及几何条件可得：
　　对M₁： ，得
　　对M₂： ，得
　　两星球的总质量为：

　　点评：
　　对于“双星模型”一定要记住角速度相等。

　　例题8. 在勇气1号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆其第一次落到火星地面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为r₀的均匀球体。

　　解析：
　　以g’表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m’表示为卫星的质量，m表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和圆周运动的知识可得：
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
　　 　　　　　　　　　　　　　　 ②
　　由①②两式得： 　　　　　　　　　　　　③
　　以v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，根据机械能守恒定律有：
　　 　　　　　　　　　　　　　 ④
　　由③④两式得

　　点评：
　　这题涉及万有引力定律、平抛运动（用机械能守恒定律处理）和卫星的圆周运动，是一个综合“天上”和“地面”的问题，处理这样的问题，要掌握好卫星环绕中心天体的运动规律和物体只受重力时的运动规律，同时要注意应用联系“天上”和“地面”的公式： （黄金代换式）。

　　例题9. 已知万有引力常是G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T₁，地球的自转周期T₂，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
　　同步卫星绕地心作圆周运动，由 得
　　（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果。
　　（2）请根据已知条件再提出两种估算地质量的方法并解得结果。

　　解析：
　　（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。
　　　 　正确的解法和结果：
　　　 　 得

　　（2）方法一；对月球绕地球作圆周运动，由 ，得
　　　　 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由 ，得

　　点评：
　　物理估算，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所有物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的推算。物理估算是一种重要的方法，有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确的计算，在这些情况下，估算就成为一种科学而又有实用价值的特殊方法。估算题中往往告诉的已知量很少或者什么量也不告诉，解题时就要求我们灵活地运用一些物理常数，如：重力加速度g、圆周率π、万有引力常量G等等。

　　拓展：
　　1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。根据你学过的知识，能否知道地球密度的大小。

　　解析：
　　实际本题是要求进行估算，因而如何挖掘题目中的隐含条件是关键，而我们学过的知识中能与地球质量密度相联系的应首先想到万有引力定律，何况题设中提出了“卡文迪许”呢？
　　设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，
　　根据万有引力定律得： 　　　　　　　 ①
　　将地球看成均匀球体： 　　　　　　 ②
　　由①②t得地球的平均密度
　　上式中π、G、R和g均为常数，将它们的值代入可得：ρ＝5.5×10³ kg/m³
　　即地球的平均密度为ρ＝5.5×10³ kg/m³。

　　●反馈练习
　　一、选择题
　　1．一艘原来在围绕地球的圆周轨道上运行的飞船，若加速后能够与绕地球运动的另一个圆周轨道上的空间站对接，则飞船一定是：（　 ）
　　A．从较高轨道上加速　　　　　　　　　　
　　B．从较低轨道上加速
　　C．从同一轨道上加速　　　　　　　　　　
　　D．从任意轨道上加速

　　2．同步卫星相对地面静止，犹如悬在高空中，下列说法中不正确的是：（　 ）
　　A．同步卫星处于平衡状态
　　B．同步卫星的速率是唯一的
　　C．同步卫星加速度大小是唯一的
　　D．各国的同步卫星都在同一圆周上运行

　　3．海王星是绕太阳运动的一颗行星，它有一颗卫星叫海卫三．若将海王星绕太阳的运动和海卫三绕海王星的运动均看作匀速圆周运动，则要计算海王星的质量，需要知道的量是（引力常量G为已知量）：（　 ）
　　A．海卫三绕海王星运动的周期和半径
　　B．海王星绕太阳运动的周期和半径
　　C．海卫三绕海王星运动的周期和海卫三的质量
　　D．海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量

　　4．2000年10月15日，我国利用“神舟五号”飞船将宇航员杨利伟送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌握载人航天技术的国家．设杨利伟测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T，离地面的高度为H，地球半径为R。则根据T、H、R和万有引力恒量G，杨利伟不能计算出下面的哪一项：（　 ）
　　A．地球的质量　　　　　　　　　　　
　　B．地球的平均密度
　　C．飞船所需的向心力　　　　　　　
　　D．飞船线速度的大小

　　5．航天英雄杨利伟在乘坐宇宙飞船绕地球运行的过程中，根据科学研究的需要，要经常改变飞船的运行轨道，这是靠除地球的万有引力外的其他力作用实现的。假设飞船总质量保持不变，开始飞船只在地球万有引力作用下做匀速圆周运动，则在飞船运行轨道半径减小的过程中：（　 ）
　　A．其他力做负功，飞船的机械能减小
　　B．其他力做正功，飞船的机械能增加
　　C．其他力做正功，飞船的动能增加
　　D．其他力做负功，飞船的动能减小

　　6．在某星球表面以初速度v₀坚直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为：（　 ）
　　A． 　　
　　B． 　
　　C． 　　　
　　D．

　　二、论述计算题
　　7．晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8h在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了。已知地球的半径R_地＝6.4×10⁶ m，地面上的重力加速度为10 m／s²，估算：（答案要求精确到两位有效数字）
　　（1）卫星轨道离地面的高度；
　　（2）卫星的速度大小。

　　8．借助于物理学，人们可以了解到无法用仪器直接测定的物理量，使人类对自然界的认识更完善。现已知道太阳光经过时间t₀到达地球，光在真空中的传播速度为c，地球绕太阳的轨道可以近似认为是圆，地球的半径为R，地球赤道表面的重力加速度为g，地球绕太阳运转的周期为T。试由以上数据及你所知道的物理知识推算太阳的质量M与地球的质量m之比M/m为多大？

　　9．在天文学上，太阳的半径、体积、质量和密度都是常用的物理量，利用小孔成像原理和万有引力定律，可以简捷地估算出太阳的密度。在地面上某处，取一个长l＝80cm的圆筒，在其一端封上厚纸，中间扎直径为1mm的圆孔，另一端封上一张画有同心圆的薄白纸，最小圆的半径为2.0 mm，相邻同心圆的半径相差0.5mm，当作测量尺度，再用目镜（放大镜）进行观察。把小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，使在另一端的薄白纸上可以看到一个圆形光班，这就是太阳的实像，为了使观察效果明显，可在圆筒的观测端蒙上遮光布，形成暗室。若测得光斑的半径为r₀＝3.7mm，试根据以上数据估算太阳的密度（G＝6.67×10^-11N·m²/kg²，一年约为T＝3.2×10⁷s）

　　反馈练习答案：
　　1．答案：B

　　　 解析：
　　　 根据万有引力公式和圆周运动的知识，可知做圆周运动的飞船加速以后将做离心运动，轨道半径增大，由于要克服引力做功，速度不断减小，最终会在更高的轨道上作圆周运动。

　　2．答案：A

　　　 解析：
　　　 由于卫星做圆周运动具有向心加速度，故A选项不正确；由卫星的受力特点可知其速度、加速度、周期、运行半径存在—一对应关系，因为同步卫星的周期是确定的，所以B、C、D选项正确。

　　3．答案：A

　　　 解析：
　　　 根据万有引力定律和圆周运动的知识，可知要测出中心天体的质量需要知道环绕天体运动的卫星（或行星）的周期和半径，故A选项正确。

　　4．答案：C

　　　 解析：
　　　 地球的质量为M，则有 ，由此式可求出M。
　　 　再由 可求出地球的平均密度。
　　　 由 ，可求出飞船线速度的大小。
　　　 由于飞船的质量未知，所以无法求出飞船所需的向心力。
　　 　故应选C。

　　5．答案：A

　　　 解析：
　　　 由万有引力定律和圆周运动的知识，可知要使飞船的轨道减小，必须减小飞船的运动速度，即需要其他力做负功，飞船的机械能减小。

　　6．答案：A

　　　 解析：
　　　 该星球的重力加速度：
　　 　由卫星的运动规律可得：
　　　 由以上两式可得：

　　7．解析：
　　　 从北极沿地轴往下看的地球俯视图如下图所示，设卫星离地高h，Q点日落后8h时能看到它反射的阳光．日落8h，Q点转过的角度设为θ。

　　　 （1）
　　　　　　轨道高
　　 　（2）因为卫星轨道半径r＝R_地＋h＝2R_地
　　　　　　根据万有引力定律，引力与距离的平方成反比，卫星轨道处的重力加速度
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

　　8．解析：
　　　 地球绕太阳做匀速圆周运动，设运动半径为r，角速度为ω，有
　　 　
　　 　
　　 　r=ct₀
　　 　设地球赤道上小物体的质量为m₀，有
　　 　
　　　 由以上各式得

　　9．解析：
　　　 设太阳质量为M，半径为R，体积为V，平均密度为ρ，地球质量为m，日地距离为r，由万有引力定律和牛顿运动定律可知
　　 　
　　 　
　　 　由图中的几何关系可近似得到
　　 　
　　 　联立解得
　　 　
　　 　代入数据得：ρ≈1.4×10³kg/m³