用基本不等式求最值
借助基本不等式：
或
，a,b∈R+；
或
，a,b,c∈R+。
求函数的最大值或最小值，在确保“各项为正”的前提下，还必须满足两点：
第一，求和的最小值时，它们的积应为定值；求积的最大值时，它们的和应为定值。
第二，使上述不等式中的等号成立时的自变量为一个确定的值，且在该函数定义域内。
要满足上述两点，在运算过程中，必须对式子作适当的恒等变形，方能达到目的。本文分析用基本不等式求最值容易产生的错误，并归纳一般方法。
1．常见致错原因分析
例1．若x>0，求
的最小值。
解法1：由于
，故知Pmin=1.
说明：以上解法是错误，虽说满足了“积为定值”这个条件，但使等号成立的先决条件：
却不成立。正确解法如下：
解法2：∵ 
，
∴ 
。
在
即
时，有
。
说明：以上求解中采用了“变换系数”的办法，使得“第一”， “第二”两个条件都得以满足。“变换系数”是变形中的常用方法之一。
例2．已知x,y∈R+,且2x+y=4，求
的最小值。
解法1：由2x+y=4，知y=4-2x，∴x∈(0,2)，故
，
而x(4-2x)在x=1时有最大值2，故
有最小值
，
所以
在x=1∈(0,2)时，有最小值
。
说明：以上解法是错误的。其一，
的积
不是定值；其二，要取得等号，必须
，即x=y。而当x=y=1时，与条件2x+y=4相悖。
解法2.由2x+y=4,得
。于是
。
说明：以上解法又是错的。这里两次用到基本不等式，然而，使等号成立的条件并不相同：对于
中取等号，必须
，即y=2x；对于
取等号，必须
，即x=y，这便导致2x=x，得出x=0，与已知矛盾。
解法3：由2x+y=4，得
，
∴
。
∴
。
说明：以上解法满足“第一”，“第二”两个要求，所以正确。等号在
，即
时成立，代入2x+y=4得x=2(2-
)∈(0,2)。
解法4:由2x+y=4，可令2x=4cos2α,，y=4sin2α，于是
，∴
。
说明：以上解法满足要求，答案正确。等号在
即
时成立，由此可得
，
，满足2x+y=4。
2. 常见一般方法
（1）变更系数法
例3. 若x>1，求
的最小值。
解：
。
等号在
即x=2∈(1,+∞)时,有
。
例4．边长为a的正方形铁片，在其四角剪去相等的小正方形后，折成一个方盒。问剪去的尺寸为多少时，小方盒有最大容积。
解：设剪去的小正方形边长为x，则小方盒边长为a-2x，又其高为x，
故小方盒容积为V=(a-2x)2x，而4V=4x(a-2x)2≤
,
故当4x=a-2x,
时，有
。
例5．若a≥b>0，求
的最小值。
解：
。
说明：本题两次用到基本不等式，第一次在条件2a-b=b即a=b时取等号，第二次在条件
即a=2时取等号，并不矛盾，解法正确。
（2）取倒数或作平方
例6．周长为定值时，哪种三角形面积最大？
解：据海伦公式，三角形的面积
，这里
。
显然
，同理p-b>0,p-c>0，
故S2=p(p-a)(p-b)(p-c)
,
即
，等号在p-a=p-b=p-c即a=b=c时成立，即周长为定值时，等边三角形面积最大。
（3）待定系数法
例7．总长为24m的铁丝剪成若干段，焊成一个长方体容器的框架。若底面长方形邻边之比为3∶2，试问长方体的高为多少时，其容积有最大值。
分析：设底面长方形较长的一边为x，则其邻边长为
，设长方体高为y，则有
，即
，故知x∈(0,3.6)为函数
的定义域。
虽说
为定值，但使等式
成立的x却不存在，为此，需采用其他办法。
解法1：由于
，所以
故得
，等号在
时成立，即x=2.4∈(0,3.6)，这时
。
说明：以上解法仍是“变更系数法”，问题是（＊）处的变形很难想到，是否有别的方法呢？
解法2 对于
，取待定系数m，使
。
要使
，即
为（与x无关的）定值，必须
，
∴
。于是
。
∴
。等号在
，即x=2.4∈(0,3,6)时成立，这时
.
说明：较之解法1，技巧性降低了，也就比较容易入手，解法2的方法就是最简单的待定系数法。用待定系数法目的，就是为了本文开头提到的“第一”，“第二”两个条件得以实现，在构成积的三个因式中有两个相同，另一个不相等，总可以用变更系数法或待定系数法来处理。
例8．若x>0，求V=x(x+0.5)(3.2-2x)的最大值。
解：取待定系数m, n使 mnV=x(mx+0.5m)(3.2n-2nx)
要使 x+(mx+0.5m)+(3.2n-2nx)即0.5m+3.2n+(1+m-2n)x为（与x无关的） 定值，必须1+m-2n=0(*)
由x=mx+0.5m=3.2n-2nx得
。
代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0，解得x=1及
，当x=1时，
，
于是
即当x=1时，
。
另解：取待定系数m,n使mnV=mx(nx+0.5n)(3.2-2x).
要使mx+(nx+0.5n)+(3.2-2x)即0.5n+3.2+(m+n-2)x为（与x无关的）定值，必m+n-2=0(*).
而由mx=nx+0.5n=3.2-2x，即得
。
代入(*)整理得3x2-2.2x-0.8=0（下略）
说明：本例中构成积的三个因式互不相同，为确保“第一”，“第二”两个条件得以实现，用待定系数法求解时，需用两个待定系数。这两个系数如何配置，结果总为一样，惟繁简不同而已。