北 京 四 中

撰　稿:杨凤文　　　编　审:赵　菁　　　责　编:严春梅

重要不等式及其运用

　　学习目标:

　　1．掌握定理的推证；

　　2．能够灵活运用定理证明不等式；

　　3．能够灵活运用定理求解函数的最值问题；

　　4．争取掌握补充内容。

　　学习重点难点:

　　灵活运用定理证明不等式和求函数的最值问题。

　　一、教材分析:

　　本节所介绍的公式在整个代数中占有重要地位，它不仅用来为证明不等式提供理论依据，还在其它问题的求解中有着广泛的应用，例如求最值问题，求范围问题等。

　　主要内容:

　　重要结论1：如果a,b∈R, 那么（当且仅当a=b时取“=”号）。

　　定理：如果a,b∈R⁺, 那么（当且仅当a=b时取“=”号）

　　重要结论2（补充）：如果a, b, c∈R⁺, 那么。（当且仅当a=b=c时取“=”号）

　　重要结论3（补充）：如果a, b, c∈R⁺, 那么（当且仅当a=b=c时取“=”号）

　　重要结论4（补充）：如果a₁, a₂,.., a_n∈R⁺, 那么（当且仅当a₁=a₂=……=a_n时取“=”号），其中n∈N, 且n>1。

　　以上内容有几点说明:

　　①对于结论1，应注意灵活变形：

　　比如；如果b>0，那么；

　　另外。

　　②定理指出：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数，反映了两个数的和与积的重要关系，它是基础，因为它不仅应用广泛，而且也可由它推出，现证明如下:
　　设a, b, c∈R⁺, ，则A>0, 且a+b+c=3A, 于是

　　，

　　∴ ，， ∴。

　　可以看出，当且仅当a=b, c=A且，即a=b=c(=A)时取“=”号。

　　的几何意义是“半径不小于半弦”。
　　我们知道，即两个正数的平方平均数不小于算术平均数。且，即两个正数的算术平均数不小于这两数的调和平均数，显然需要比较的是与的大小。
　　∵ 。
　　综上可得出: 。
　　③结论2的条件是a,b,c∈R⁺，实际上，由推证过程:a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]
≥0。 只需a+b+c≥0即可，但为了使用方便 ，往往限制a,b,c∈R⁺。这一点必须清楚，例如a³+b³+c³≥3abc成立的充要条件是:a+b+c≥0或a=b=c。

　　④结论4，设，本定理反映的是n个（n是大于1的整数）正数的算术平均数A不小于它们的几何平均数G。

　　⑤应用不等式证题时，一定要注意条件和“=”的说明，尤其在求函数最值时，“=”号成立与否是很关键的。

　　二、重要不等式的应用:

　　例1．设a, b, c∈R⁺，求证：。

　　分析:本题的难点在于不易处理，如能找出a²+b²与a+b之间的关系，问题就能解决。

　　证明:∵ a, b, c∈R⁺， a²+b²≥2ab,∴ 2(a²+b²) ≥(a+b)²,

　　∴ ,

　　同理:，，

　　∴

　　例2．若a, b, c∈R⁺，求证(a+b+c)⁴·(a²+b²+c²)≥243a²b²c²。

　　分析:这类不等式可看作是“和的形式≥积的形式”经迭乘而成。

　　证明:∵ a,b,c>0，∴ ，∴ ,

　　又 ，∴(a+b+c)⁴(a²+b²+c²)≥3⁵(abc)²。

　　∴ (a+b+c)⁴(a²+b²+c²)≥243a²b²c²。

　　例3．若a>2，求证。

　　分析:两个对数的积不好处理，而和易处理，从而想到重要不等式。

　　证明:∵ a>2, ∴ log_a(a-1)>0, log_a(a+1)>0，且 ,

　　∴

　　∴ log_a(a-1)log_a(a+1)<1。

　　例4．若0<x<, 求x(2-5x)的最大值。

　　解:∵,　∴2-5x>0，∴

　　当且仅当5x=2-5x，即时，原式有最大值。

　　例5．求函数的最小值 (a>0)。

　　解:

　　(1)当0<a≤1时，y≥2，当且仅当时，y_min=2。

　　(2)当a>1时，令 (t≥)。

　　∵ 在为增函数，∴ ，此时x=0。

　　综上可知，0<a≤1时，y_min=2；a>1时，。

　　三、课外练习

　　1．若-4<x<1，则有（　）。
　　A、最小值1　　B、最大值1　　C、最小值-1　　D、最大值-1

　　2．若x+2y=4, x>0, y>0，则lgx+lgy的最大值为________。

　　3．若lgx+lgy=1，则的最小值为_____。

　　4．已知a,b,c∈R⁺, a+b+c=1。求证：。

　　5．某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元。并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次。某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元。要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？

　　参考答案:1.D　　 2. lg2　　 3. 2

　　1.

　　2. ，当且仅当 x=2y=2时取“=”。

　　3．lgx+lgy=1, xy=10, ∵。

　　4. 证明:∵ a,b,c∈R⁺, a+b+c=1。　 (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)。

　　∴ ,∴ ,
　　∵ ，∴ , ∴

　　∴

　　5．设购买x张游泳卡，活动开支为y元， 则

　　当且仅当x=8时取“=”号，此时每人最少交80元。