谈对均值不等式的理解和应用

　　均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子，它是考查素质、能力的一个窗口，是高考的热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。

　　1 通过特征分析，用于证不等式

　　均值不等式：
　　1)
　　2)

　　两端的结构、数字具有如下特征：
　　1)次数相等；
　　2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；
　　3)左和右积。

　　当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。

　　例1．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)>6abc.

　　分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

　　证明:∵ b²+c²≥2bc, a>0, ∴ a(b²+c²)≥2abc

　　同理，b(c²+a²)≥2bac, c(a²+b²)≥2cab, 又 ∵a，b，c不全相等，

　　∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此

　　a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)>6abc。

　　例2. 若a，b，c∈R⁺，且a+b+c＝1，求证.
　　分析：由a，b，c ∈R⁺，联想均值不等式成立的条件，并把1＝a+b+c代换中的“1”，要证不等式变为,

　　即，

　　亦即，

　　发现互为倒数，已具备均值不等式的特征。

　　证明：∵a,b,c∈R⁺,　

　　∴ ，,

　　∴ ,

　　∴ .　　

　　∵ a+b+c=1, ∴.

　　说明：1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。

　　2)在附加条件的变换下，要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。

　　2 抓条件“一正、二定、三等”求最值

　　由均值不等式2)，推证出最值定理及其使用的前提条件：“一正、二定、三等”，求最值时，三者缺一不可。

　　例3. 已知x, y∈R⁺且9x+16y＝144，求xy的最大值。

　　分析：由题设一正：x, y∈R⁺，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式求解。

　　解：∵ x, y∈R⁺ ，

　　∴ ，

　　当且仅当9x=16y，即时，(xy)_max=36.

　　说明：本题若改为：x,y∈R且9x²+16y²=144，求xy的最大值呢？请同学们一试。

　　3 抓“当且仅当……等号成立”的条件，实现相等与不等的转化

　　在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。

　　例4．在ΔABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)³=27abc，试判定三角形ABC的形状。

　　分析：(a+b+c)³=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。

　　解：∵a>0, b>0, c>0，故有不等式（见阅读材料），即(a+b+c)³27abc，当且仅当
a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。

　　例5．已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3, . 求x²+y²+z²的值。

　　解：由题设得。

　　∵ x,y,z>0, ∴ ,

　　∴ .

　　此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即

　　, ∴x²=1,y²=1, z²=1, ∴x²+y²+z²=3.

　　说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。

　　总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。