北 京 四 中

撰　稿：李　静　　编　审：安东明　　责　编：张　杨

指数与指数函数

　　[本周重点] 分数指数幂与指数函数性质

　　[本周难点] 指数函数性质的运用

　　[指数知识点剖析]

　　我们已经学习了整数幂，知道正整数指数幂 (n∈N^*)，零指数幂a⁰=1 (a≠0)，负整数指数幂 （a≠0，p∈N^*），那么正分数指数幂是什么呢？

　　我们不妨设，凭感觉（注意：没有经过严格证明，只是把整数指数幂运算性质“推广”到分数，是不科学的，但可以借此理解分数指数幂的定义）我们所求的x是这样一个数，它的n次方等于a^m，由此我们感觉x为a^m的n次方根，故先因式分解提出根式的概念。

　　一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，式子叫做根式，n叫根指数，a叫被开方数。

　　回到原来的讨论，则x即是a^m的n次方根，即。类似地，我们可以定义负分数指数幂。现在我们归纳一下幂的有关概念。

　　正整数指数幂 (n∈N^*)

　　零指数幂a⁰=1 (a≠0)

　　负整数指数幂 （a≠0,p∈N^*）

　　正分数指数幂

　　负分数指数幂

　　分数指数是在正整数指数的概念推广到整数指数后指数概念的又一推广。推广后指数的取值范围为有理数，它是根式的一种新的表示法。有理指数幂的性质分别为：
　　

　　根据分数指数幂和根式的关系，根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化。对于运算的结果，不统一要求用什么形式来表示。没有特殊要求时，可以用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可以根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，同时注意根式要化简为最简根并合并同类根式。

　　例1．计算下列各式：
　　(1)
　　(2)

　　解：
　　（1）原式=

　　（2）原式

　　例2．已知，求的值。

　　解：因为，

　　所以，

　　所以
　 　

　　故当a>b时，=a-b。当a=b时，=0。当a<b时，。

　　小结：本题在求解过程中要注意：①要对所求的式子先进行化简；②等式=的灵活运用。

　　例3．(1)已知2^x+2^-x=a (a为常数)，求8^x+8^-x的值。
　　(2)已知x+y=12, xy=9，且x<y，求的值。
　　解：
　　（1）8^x+8^-x
　　　　=2^3x+2^-3x=(2^x)³+(2^-x)³
　　　　

　　(2)

　　又∵ x+y=12, xy=9, ∴(x-y)²=(x+y)²-4xy=12²-4×9=108。

　　又∵ x<y, ∴x-y=，代入(1)式得:。

　　小结：
　　（1）对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式。
　　（2）一般不采用分别把x, y, 2^x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2^x+2^-x，x+y及xy整体代入后再求值。

　　[指数函数知识点剖析]

　　函数y=a^x(a>0, a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，x∈R。

　　在定义中规定a>0,且a≠1的原因是，在y=a^x中，若a=1, 则y=1，这是一个常数函数，为了保证x取分数时a^x都有意义，必须要求a≥0；但是a=0时，只有对x>0有意义，且y=a^x=0，即y=0^x 是定义在(0,+∞)上的常数函数，因此，定义指数函数y=a^x时，要规定a>0且a≠1。

　　学习时除了深刻理解指数函数y=a^x的定义外，还必须结合函数图象掌握函数性质。

y=ax
	0<a<1时图象	a>1时图象
图象
性质	① 定义域R，值域（0，+∞）
	② a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0,1)点
	③ ax=a，即x=1时，y等于底数a
	④ 在定义域上是单调减函数		④ 在定义域上是单调增函数
	⑤ x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1		⑤ x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1
	⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数

　　注意：（1）利用性质3可以让我们根据几个指数函数图象判断其底数大小，如图可知。

　　a<b<d<c，由此可知底数对函数值变化的影响。

　　（2）y=a^x(a>0且a≠1)与图象关于y轴对称。

　　例4．求下列函数的定义域、值域。
　　（1）　　（2）y=4^x-2^x+1　　（3）　　（4）（a为大于1的常数）

　　解：
　　（1）函数的定义域为R （∵ 对一切x∈R，2^x≠-1）。

　　∵ ，又∵ 2^x>0, 1+2^x>1,

　　∴ ，∴ ,

　　∴ , ∴ 值域为（0，1）。

　　（2）定义域为R，,

　　∵ 2^x>0，∴ ，即x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[）．

　　（3）定义域为R，∵ |x|≥0，∴ -|x|≤0，∴ ，∴ 值域为（0，1]。

　　（4）∵ ，∴ 定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞),

　　又∵ ，∴ ，∴ 值域为[1,a)∪(a,+∞)。

　　小结：求值域时有时要用到函数单调性；第（3）小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第（4）小题中不能遗漏。

　　例5．比较1.5^-0.2, 1.3^0.7, 的大小。

　　解：先比较的大小。

　　由于底数∈（0，1），∴ 在R上是减函数，

　　∵ ，∴ ，

　　再考虑指数函数y=1.3^x，由于1.3>1, 所以y=1.3^x在R上为增函数1.3^0.7>1.3⁰=1，

　　∴ 。

　　小结：在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果。总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断。

　　例6．求函数（x∈[-3,2])的单调区间，并求出它的值域。

　　解：令, 则,

　　∵ x∈[-3,2]，∴ ，∴，∴ 值域为[，57]， 再求单调区间。

　　（1），即，即x∈[1,2]时，是单调减函数，是单调减函数，故是单调增函数。

　　（2），即，即x∈[-3,1]时，是单调减函数，是单调增函数，故是单调减函数，

　　∴ 函数的单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1]。

　　小结：形如y=Aa^2x+Ba^x+C(a>0，且a≠1)的函数若令a^x=u，便有y=Au²+Bu+C，但应注意u>0。

　　例7．判断下列函数的奇偶性：（φ(x)为奇函数）

　　解：f(x)定义域关于原点对称（∵φ(x)定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是φ(x)定义域除掉0这个元素），令，
　　则
　　　　　　

　　∴ g(x)为奇函数，又 ∵φ(x)为奇函数，∴ f(x)为偶函数。

　　[本周练习]

　　1．已知函数f(x)=x²-bx+c满足 f(2-x)=f(x)且f(0)=3, 当x¹0时，试比较f(b^x)与f(c^x)的大小。

　　2．函数y=a^2x+2a^x-1 (a>0且a≠1)在[-1，1]上最大值是14，求a的值。

　　[练习答案]

　　1．解：f(2-x)=f(x)图象对称轴为x=1，则b=2,

　　, ∴ f(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2,x>0时，3^x>2^x>1, ∴ f(3^x)>f(2^x)

　　x<0时，0<3^x<2^x<1, ∴ f(3^x)>f(2^x)，∴x≠0时, f(b^x)<f(c^x)。

　　2．(1) a>1时，u=a^x>0在[-1，1]上为增函数，y=u²+2u-1在(0,+∞)上为增函数，

　　∴ y=a^2x+2a^x-1在[-1，1]上为增函数，

　　∴ x=1时，y取最大值14，∴ a²+2a-1=14, ∴ a=3(a=-5不满足a>1, 舍去)。

　　(2) 0<a<1时，u=a^x>0在[-1，1]上为减函数，y=u²+2u-1在(0,+∞)上为增函数，

　　∴ y=a^2x+2a^x-1在[-1，1]上为减函数，∴ x=-1时，y取最大值14。

　　∴ a^-2+2a^-1-1=14，∴ a= (a=-不满足0<a<1，舍去)
　　综合(1),(2)a=3或a=。