怎样认识圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

　　有关圆的证明题，常常与圆心角、弧、弦、弦心距密不可分。因此，认识它们之间的关系是非常必要的。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。通过此定理，可以很清楚地表明这些量之间的关系。同时应注意，这里所说的弧必须同指“劣弧”或者同指“优弧”。

　　例1．设两弦AB、CD的中点分别为M、N，且MN与二弦成等角，问二弦的关系如何？

　　分析：两条弦的关系是指两弦相等与否、平行与否等。但是因为题目中没有画出图形，所以要画出并注意不同情况。

　　解：当MN不过O点时，如图甲，连结OM、ON，

　　则ONM构成三角形。

　　因M、N分别是AB、CD中点，

　　故OM⊥AB，ON⊥CD。

　　又因∠1=∠2，故∠OMN=∠ONM，得OM=ON，

　　故AB=CD。

　　当MN与点O共线时，如图乙，则MN⊥AB，MN⊥CD，故AB//CD。

　　于是二弦AB、CD是相等或平行的关系。

　　注意：此题要谨防遗漏第二种情况。

　　例2.已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，且EB=4cm, CD=12cm, 求圆心到弦CD的距离。

　　分析：对于弦心距的问题，常常通过和半径、弦的一半构成的直角三角形来解决。

　　解：如图：设⊙O的半径为xcm,则OE=(x-4)cm.

　　因AB⊥CD，且AB为圆的直径，故CE=CD，即CE=6cm.

　　在RtΔOCE中，由勾股定理得x²=6²+(x-4)²解之得x=6.5.

　　故OE=x-4=6.5-4=2.5(cm).

　　从解题中我们可以发现，在解有关圆的弦、弦心距关系的问题时，不可忽视由半径、弦心距、弦的一半所构成的直角三角形，并由勾股定理反映出它们的数量关系。