考题评析　圆的有关性质（二）

　　1．（扬州市）如图，AB为⊙O的直径，BC为弦，D为BC上一点，DE⊥AB，E为垂足，求证：。

　　评析：利用直径所对的圆周角是直角，可连接AC，构造相似，证明等比式。

　　证明：连AC，

　　∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°

　　又∵DE⊥AB于E，

　　∴∠DEB=90°=∠ACB， ∠ABC=∠DBE

　　∴ΔACB∽ΔDEB

　　∴

　　2．(南昌市)如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，以C圆心、CA的长为半径的圆分别交AB、CB于E、M，AC的延长交
⊙C于D，连结DE交CB于N，连结BD。
　　求证：（1）ΔABD是等腰三角形； 　　（2）CM²=CN·CB。

　　证明：（1）∵CB⊥AD，DC=AC，

　　∴BA=BD　　即△ABD是等腰三角形.

　　(2)∵AD是⊙C的直径,

　　∴∠DEA=90°。

　　∴∠EDA=90°-∠A=∠CBA。

　　∴RtΔDNC∽RtΔBAC。

　　∴。

　　又DC=AC=CM　　∴CM²=CN·CB。

　　3．（徐州市）已知：如图，AD是DABC的边BC上的高，AE是DABC的外接圆直径。
　　求证：（1）DADB∽DACE；（2）AB·AC=AD·AE.

　　证明：(1)∵AE是直径,　∴∠ACE=90° .

　　∴∠ADB=∠ACE=90°

　　又∵∠B=∠E, 　∴△ADB∽△ACE.

　　(2)∵△ADB∽△ACE,

　　∴, 　　∴ AB·AC=AD·AE

　　4．（四川省）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与△ABC外接圆O交于点D，与BC的延长线交于点F，DE是BD的延长线，连结CD.
　　求证：（1）DF平分∠EDC； （2）AF²-AB²=AF·DF.

　　考点：圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定及性质。

　　评析：在圆中证角相等，一般将角转化成圆周角或弦切角（以后将要学习弦切角）来证，其次考虑相似或全等。

　　（1）∠EDF借助对顶角转化为圆周角，∠CDF借圆内接四边形的性质转化为圆周角∠ABC，再利用圆周角的关系及等腰三角形性质可证相等。

　　（2）证明平方关系式时，有以下两种思路：
　　 ①借助相似形的比例中项将平方式转化为等积式问题解决。
　　 ②将等式适当变形，即转化为a²=bc的形式再考虑证相似的问题（或化为ab=cd形式）证明。

　　由思路①知：以AB为公共边可能相似的三角形有△ABD与△AFB，由（1）知∠ABF=∠ADB（还有公共角∠BAF），故有AB²=AD·AF,∴AF²－AB²=AF²－AD·AF=AF(AF－AD)=AF·DF得证。

　　由思路②将结论变形得：AB²=AF²－AD·DF=AF·AD，观察AB、AF、AD所围成的两个三角形是否相似即可。

　　注：若三条线段不能围成两相似三角形，则利用等量代换转化，如本题可转化为AC²= AF·AD问题，又找出新的相似三角形。

　　证明：（1）∵AB=AC，

　　∴∠ABC=∠ACB.

　　∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠FDE，

　　∴∠FDE=∠ACB=∠ABC.

　　∵∠CDF=∠ABC，

　　∴∠CDF=∠FDE，　即DF平分∠EDC.

　　（2）在△ACF和△ADC中，　∵∠CDF=∠ABC=∠ACB，

　　∴∠ACF=∠ADC.

　　∵∠CAF=∠DAC，

　　∴△ACF∽△ADC

　　∴=，即AC²=AD·AF.

　　∵AB=AC，

　　∴AB²=AD·AF

　　∴AF²-AB²=AF²-AD·AF=AF（AF-AD）=AF·DF