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北　京　四　中

　编　稿：王润岚　　　审　稿：谷　丹　　　责　编：赵云洁

圆的有关性质（二）

　　一、内容综述：

　　这部分圆的内容中，解题时常添加的辅助线。

　　1．连半径。目的：因为同圆的半径相等，所以可以产生等腰三角形。

　　2．作弦心距。目的：可以利用垂径定理。
　　若既连半径，又作弦心距，则可产生RtΔ。

　　3．连结弧的中点与圆心，目的：可以利用垂径定理的推论。

　　4．作直径所对的圆周角，目的：产生RtΔ。

　　5．补全圆内接四边形，例如：连结AD，
　　目的：利用圆内接四边形的性质：∠ADE=∠B。

　　二、例题分析：

　　例1．已知：如图，AB是⊙O直径，弦AC∥半径OD，求证: 　　　　　　

　　分析：此题证弧等
　　证弧等常采用的方法有：
　　1．圆的两条平行弦所夹的弧等。
　　2．由垂径定理及其推论可得两弧等。
　　3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角等（或两条弦，两条弦的弦心距等）那么它们所对应的弧等。
　　4．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧等，因此这题可以通过添加辅助线采取不同的方法来证明，

　　方法1：

　　证明：延长DO交⊙O于E，　

　　∵AC∥OD， ∴

　　又∵∠AOE=∠DOB， ∴ 　　　　　　

　　∴

　　此方法是：利用圆的两条平行弦所夹的弧等，及在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等，进行证明。

　　方法2：

　　证明：连结BC，交OD于E，

　　∵AB是直径，∴∠ACB=90⁰，

　　又∵AC∥OD，

　　∴∠OEB=∠ACB=90⁰，即OD⊥BC，

　　∴

　　此方法是：利用垂径定理，证明。

　　方法3：

　　证明：连结AD，∵OA=OD，∴∠1=∠2，

　　又∵AC∥OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，

　　∴

　　此方法是：利用在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧等进行证明。

　　方法4：

　　证明：连结OC，

　　∵OA=OC，∴∠A=∠C，又∵AC∥OD，

　　∴∠A=∠1，∠2=∠C，∴∠1=∠2，

　　∴

　　此方法是：利用在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等进行证明。

　　例2．如图，已知：AD是半圆的直径，

　　AB=BC=1cm，AD=4cm.求CD的长。

　　分析：若连结AC，则CD在RtΔACD中，AD长已知，若能求出AC的长，则可利用勾股定理求出CD，如何求AC的长呢？从已知可推得，即B为的中点，连结OB，由垂径定理推论得OB垂直平分AC，求出AC的一半即可。

　　解：连结AC，OB，交AC于P，

　　∵AB=BC，∴

　　∴AP=CP，BP⊥AC，

　　设BP为xcm, 则OP=OB-BP= 2-x，

　　在RtΔABP中：AB²-BP²=AP²，在RtΔAPO中：AO²-OP²=AP²，

　　∴AB²-BP²=AO²-OP²，

　　∴1-x²=4-(2-x)²

　　∴x=, 即BP=,

　　∴AP===，

　　∴AC=2AP=，

　　∵AD是直径， ∴∠ACD=90⁰，

　　在RtΔACD中，由勾股定理得：

　　CD===，

　　答：CD为cm。

　　说明：连结AC的目的产生RtΔ，连结OB的目的是利用垂径定理的推论使OB垂直平分AC。

　　例3．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于K，E为劣弧上的点，且，AE的延长线交DC的延长线于F，求证：AE·CF=AB·KD。

　　分析：欲证等积式，化成比例式=，由于这个比例式不能直接证出，则要寻找“代换”，由已知可得KD=CK，因此要证比例式=，这个比例式也不能直接证出，则要进行“等比代换”或“等积代换”。因此要找出比例式，这个比例式中至少有两条线段是要证的比例式中的线段。由已知，可得C为的中点，连结OC可推得OC∥AE，所以=，即=，现在只要能证=即可。就是“中间比”。由已知可推得ΔOCK∽ΔABE，所以=即=。