北　京　四　中

编 稿：赵云洁 　 审　稿: 谷　丹　 责　编:姚一民

全等三角形

　　1、 概念理解：

　　两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。

　　2、 三角形全等的判定公理及推论有：
　　（1）“边角边”简称“SAS”
　　（2）“角边角”简称“ASA”
　　（3）“边边边”简称“SSS”
　　（4）“角角边”简称“AAS”
　　注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

　　3、 全等三角形的性质：
　　全等三角形的对应角相等、对应边相等。
　　注意：
　　1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
　　 　而全等的判定却刚好相反。
　　2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

　　二、例题分析：
　　例1，如图△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，说出对应角和另一组对应边。
　　解：∵AB和DE，AC和DF分别为对应边，
　　　　∴另一组对应边是BC和EF。
　　　　∴对应角为：∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DFE

　　 例2，如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。
　　分析：由AB=AC，则AB和AC是对应边，可找AB的对角∠AEB，AC的对角∠ADC，则∠AEB和∠ADC为对应角。由∠A是这两个三角形的公共角，它与其自身对应，因而∠A的对边为BE、DC为对应边，于是剩下的∠B、∠C是对应角。AE和AD是对应边。
　　解：对应边：AB和AC，BE和DC，AE和AD
　　对应角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC
　　∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE
　　又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（对顶角相等）于是构成一对全等三角形为△BFD和△CFE。

　　 1、找全等三角形的对应边，对应角的方法是：
　　 （1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。
　　 （2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。
　　 （3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。
　　 （4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。

　　 2、利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素是寻找两个三角形全等的重要途径之一。如图（一）中的AD，图（二）中的BC

　　都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。

　　 3、三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点，只有掌握好全等三角形的各种判定方法，才能灵活地运用它们学好今后的知识。证明三角形全等有五种方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL为了判定两个三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。

　　 ①有两组对应角相等时；找
　　 ②有两组对应边相等时；找
　　③有一边，一邻角相等时；找
　　 ④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）

　　 说明：由以上思路可知两个三角形的六个元素中、若只有一对对应元素相等，或有两对对应元素相等，则它们不一定全等。因此要得出两个三角形全等必须要有三对对应元素相等才有可能成立。若两个三角形中三对角对应相等，它们只是形状相同，而大小不一定相等，所以这两个三角形不一定全等。如下图（一）因此要判定三角形全等的三对对应元素中，至少有一对是边。还要注意一个三角形中的两边及其中一边所对的角对应相等，这两个三角形不一定全等。如图（二）中，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B但△ABC和△ABD明显的不全等。

　　注：全等三角形判定没有（AAA）和（SSA）

　　 例3，如图，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE，
　　 ∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACE
　　 分析：已知条件中已经给出了AD=AE，BD=CE，要证明△ABD≌△ACE，只需证明AD与BD，AE与EC的夹角相等，根据SAS，定理就可以得出结论。
　　 证明：（1）
　　 　　　（2）在△ABD和△ACE中（注意书写时必须把表示对应顶点的字母写在对应位置上。）
　　 　　　（3）
　　　　　　（4）∴△ABD≌△ACE（SAS）

　　说明：全等三角形的论证，是研究图形性质的重要工具，是进一步学习平面几何知识的基础。
　　因为研究图形的性质时，往往要从研究图形中的线段相等关系或角的相等关系入手，发现和论证全等三角形正是研究这些关系的基本方法； 另一方面，论证全等三角形又是训练推理论证的起始，是培养逻辑推理能力的关键的一环。
　　 三角形全等证明的基本模式是：
　　 题设△₁≌△₂
　　 具体的可以分为四步基本格式。
　　 （1）证明三角形全等需要有三个条件，三个条件中如有需要预先证明的，应预先证出。
　　 （2）写出在哪两个三角形中证明全等。
　　 （3）按顺序列出三个条件，用大括号合在一起，并写出推理的根据。
　　 （4）写出结论。
　　
　　 例4，已知如图，AC与BD相交于O,OA=OC，
　　 OB=OD，求证：∠OAB=∠OCD。
　　 分析：从已知条件出发，可以证出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，由△AOD≌△COB，可得∠1=∠2，∠3=∠4，AD=BC，由△AOB≌△COD可得∠5=∠6，∠7=∠8，AB=CD，这个思路可在下图列出：

　　 对于简单的几何证明题，可以采用这种推理方法，这种方法是由已知推得甲，再由甲推得乙，再由乙推得丙……直至推得结论。这种方法是“由因导果”。如果从已知条件出发能推出的结果较多，要有目的地决定取舍，取与求证有联系的，舍去与求证无关的。
　　 证明：在△AOB和△COD中
　　 ∵
　　 ∴△AOB≌△COD（SAS）
　　∴∠OAB=∠OCD（全等三角形的对应角相等）

　　 例5，已知如图，AB=AC，∠1=∠2
　　 AD⊥CD，AE⊥BE，求证：AD=AE
　　 分析：AD、AE分别在△ADG和△AEH
　　 中，∠1=∠2，可证出∠D=∠E但少一对边相等，因此此路不通。AD、AE又分别在△ADC和△AEB中，知道∠D=∠E，AB=AC，又已知∠1=∠2，可以证出∠DAC=∠EAB，所以通过△ADC≌△AEB，得出AD=AE这个思路可用下图表示：

　　 这种思考过程与例4所分析的思考过程恰好相反，它是从要证明的结论入手的，利用学过的公理，定理，定义等去推想：要证这个结论需要具备什么条件？如果这个条件（记作条件甲）已具备了，那么结论就成立，然后再去推想，如果需要条件甲成立，又需具备什么条件？这样一步步向上追溯，直到所需要的条件能由已知条件推得为止，这是“执果索因”的过程。
　　 这是思考过程，找到思路后，在证明中仍要像以前一样从已知开始，一步步推出结论，书写的表达与这个思考过程正好相反。
　　 证明：∵AD⊥DC，（已知）∴∠D=90⁰（垂直定义）
　　 ∵AE⊥BE（已知）∴∠E=90⁰（垂直定义）
　　 又∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC（等式性质）
　　 即∠DAC=∠EAB
　　 在△ADC和△AEB中
　　 ∵
　　 ∴△ADC≌△AEB（AAS）
　　∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）

　　 例6，已知如图，AB=DC，AD=BC，O是DB的中点，过O点的直线分别与DA和BC的延长线交于E、F，求证：∠E=∠F。
　　 分析：欲证∠E=∠F有两条思路；一是证明DE//BF，则内错角相等；一是证明∠E和∠F所在的两个三角形全等。从题中给定的已知条件中∠E、∠F所在的三角形似乎不具备条件，于是考虑证明DE//BF。欲证两直线平行，常见的方法是考虑两直线被第三条直线所截得的同位角，内错角相等或同旁内角互补。此题图中DE与BF被EF、AB、DC所截成的角只有内错角，故只需证出一组内错角相等即可，据图给定的条件不难证明∠DAB=∠BCD，进一步可证原题。
　　 证明：在△ABD和△CDB中
　　 ∵
　　 ∴△ABD≌△CDB（SSS）
　　 ∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）
　　 ∴DE//BF（内错角相等，两直线平行）
　　∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）

　　例7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．

　　分析一：题目中的条件AB+BD=AC，使用起来不直观。若延长AB，在延长线上取BM等于BD，则可以得到AB+BD=AM=AC，易于使用，这种方法叫“补短法”，通过补长线段，得到容易使用的相等线段。
　　解：延长AB到M，使BM=BD，连结DM，则AM=AB+BM=AC，∠1=∠2，AD=AD，
　　 ∴△ADM≌△ADC，∴∠M=∠C 又∵BM=BD，则∠M=∠BDM，∴∠ABC=2∠M=2∠C，即∠B:∠C=2:1

　　 分析二：还可以在AC上截取AN=AB，就能将条件AB+BD=AC转化为NC=BD。这种方法叫做“截长法”，和第一种方法统称“截长补短法”，常用于线段之间的关系证明或者条件的利用。
　　另一解：如图2：在AC上截取AN=AB，由条件易知△ABD≌△AND，则DN=DB
　　 ∠AND=∠B，又AC=AB+BD=AN+NC ∴NC=BD=ND，∴∠C=∠NDC
　　 ∴∠B=∠AND=2∠C ∴∠B:∠C=2:1．

　　 注：此题中，使用了等腰三角形两底角相等的知识，在小学中大家已学过，在以后还要学习．