北 京 四 中
编 稿：李 岩 审 稿：谷 丹 责 编：严春梅
直线与圆的位置关系
已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：
判定方法1：联立方程组
得到关于x(或y)的方程(1)△>0
相交；(2)△=0
相切；(3)△<0
相离。判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d
(1)d<r
相交； (2)d=r
相切；(3)d>r
相离。例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。
法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点
，∵点P在圆O内，
∴直线L与圆O相交。
法二：圆心O到直线L的距离为
当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，
∴14m2+4m+17>0
∴m∈R
所以直线L与直线O相交。
法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0
∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)
当m≠1时，△>0，直线与圆相交；
当m=1时，直线L：
，此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。
[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。
例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值
法一：设P(cosα，sinα)为圆上一点，则点P到直线的距离为
=
∴当
时，dmin=4.法二：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M， 此时，l与圆有两个交点A、B，
∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，
∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的
最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6
最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4
[评]法二是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。
2．切线问题：
例3：
(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)
法一：
∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴
当x0≠0且y0≠0时，
∴切线方程为
当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；
当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；
当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；
当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；
综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2
法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，
即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2
∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。
综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。
(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。
解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：
设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0
则圆心O到PT的距离为
所以PT的方程为
综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0
[评]
(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。
(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。
例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：
(1)
； （2） B(4，5)解：
(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，
法一：设切线方程为
，则圆心到切线的距离为
，∴所求切线方程为
法二：
∵AC⊥l，
∴所求切线方程为
(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条
设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为
又直线x=4也是圆的切线方程，
∴所求切线方程为
例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求
的取值范围。法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，
如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，
直线PB的方程为ux-y+u+2=0，
圆心到直线PB的距离为
∴
法二：设x=cosα，y=sinα，则
[评]法一利用数形结合的思想，是解决这类问题的基本方法。
法二把这个几何问题转化为求三角函数
值域的问题，但此三角函数问题计算量偏大，难以解决，反过来，我们可以把求
值域的问题转化为本题去解决，就显得更好用的多。要善于处理代数问题和几何问题之间转化的问题。
例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。
解：
∵
∴当|OP|最小时，SPAOB最小，
又∵当OP⊥L时|OP|最小，此时
例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。
法一：如图，
，由射影定理
|OA|2=|OD||OP|知，
∴O分
∴
当a=0或b=0时，切线方程满足上式，
∴所求切线的方程为ax+by=r2
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，
又∵过点P(a，b)
∴ax1+by1=r2，
同理有ax2+by2=r2
由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax+by=r2，它是一条直线的方程，
又∵过两点的直线有且仅有一条，
∴直线AB的方程为ax+by=r2。
[评]法一先求得直线AB的斜率及其上一点的坐标，再由点斜式写出直线的方程，做起来运算量比较大；而法二巧妙的避免了求A、B的坐标；设而不求A、B两点的坐标，体现了对曲线与方程概念的深刻理解。
3、弦长问题
例8、
(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。
解：圆心C(1，0)，kPC=-1，
∵AB⊥PC，
∴kAB=1，且AB过点P，
∴直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3
(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。
解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2）
由
，消去y得5x2+4bx+b2-4=0由韦达定理得，
①
②由①②消去b得
，又因M在圆内，∴所求轨迹为直线
在圆内的部分。(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。
法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)
由
消去y得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0
①又∵x≠0
代入①得x2+y2+x-2y=0∵M点在圆内，
∴所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。
法二：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-1，2）
∵CM⊥OM
∴
当x≠0且x≠-1时，有
①，当x=0时，点M不存在；当x=-1时，点M与C重合，符合方程①
∵M点在圆内，
∴所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。
法三：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，圆心C（-1，2）
∵CM⊥OM
∴M点在以OC为直径的圆上，即
，∵M点在圆内，
∴所求轨迹为圆
在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分。习题
1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)的位置是____
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能
2.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)2+y2=1(y≥0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是____
3.若圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k=0距离的最大值是4，求k
4.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方程。
5.设a+b+1=0，试求：a2+b2-2a-2b+2的最小值
6.已知实数满足：x2+y2-4y+1=0 (1)求y-2x的取值范围；(2)求
的取值范围。7.自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在的直线的方程。
8.求圆x2+y2-2axsinα-2bycosα-a2cos2α=0(a∈R且a≠0)在x轴上截得的弦长。
9.已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段PQ中点的轨迹方程。
答案：
1.B；
2、
； 3、-1或-11
4、(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338；
5、
6、(1)
(2)
7、4x-3y+3=0或3x-4y-3=0；
8、2|a|
9、
