北 京 四 中
编 稿：李 静 审 稿：赵 菁 责 编：张 杨
求函数值域和函数奇偶性
一、知识点分析求函数值域问题放在单调性之后引出，是希望学生通过对于单调性的深入研究和理解，明白求函数值域问题跟函数的单调性紧密结合的关系，从而对于这两个问题都有更为透彻的理解。而函数奇偶性是继函数的单调性之后的又一函数重要性质，我们研究奇偶性的时候也要重点把握。所谓函数性质实际上是在强调：当自变量发生一个变化时相应的因变量发生了变化，我们描述这些变化就成为函数的性质，这里强调这一点很重要，为今后讨论反函数、周期性等作铺垫。也帮助学生更好地理解数学。
二、基本知识体系
1.求函数值域的方法总结
求函数值域是一类很重要的问题，求函数值域的方法有以下几种：
1、利用单调函数的上、下界
2、利用熟知函数的值域
3、利用换元法，化为熟知函数
4、利用配方法或判别式法
5、利用不等式
在应用以上求值域的方法时要注意：弄清每种方法的原理、适用对象、操作方法、以及应注意的问题；每种方法应掌握几个典型例题，并且把例题深入挖掘，掌握其精髓。
2.函数的奇偶性
1、定义及其理解：
定义1对于函数y=f(x)，x∈D，若任取x∈D，都有f(-x)=f(x)，称f(x)为偶函数。
定义2对于函数y=f(x)，x∈D，若任取x∈D，都有f(-x)=-f(x)，称f(x)为奇函数。
强调：
(1)整个定义域上的性质(区别于单调性)；
(2)刻画了f(x)随x变化的特征(数、形)。
2、函数的奇偶性的判断：
(1)定义域是否关于原点对称；按照定义以及定义的等价形式判断：
考察f(-x)=±f(x)；或f(-x)±f(x)=0，或
说明：定义域D关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。因此，在运用定义判断y=f(x)的奇偶性时，一定要首先看定义域。
(2)函数的图象(数形结合的思想)。
定理1 奇函数的充要条件是函数图像关于原点对称
定理2 偶函数的充要条件是函数图像关于y轴对称
难点：证明函数奇偶性的定理。
3、函数奇偶性的应用主要包括以下几个方面：
(1)判断；
(2)证明；
(3)求值；
(4)求解析式；
(5)作函数图象；
(6)求函数值域。
三、典型例题及分析
例1.求函数
的值域解：第一步先求该函数的定义域为
都是单调递增函数，并且没有上界
是单调递增函数，并且没有上界
；
小结：利用单调函数的上下界求值域，原理简明，操作简便，且普适性强，是求值域的首选方法。
例2.求函数
的值域解：
向右平移3个单位得到的；
值域相同；
小结：这道小题明显利用熟知函数的值域求未知函数值域。需要补充说明的是我们已经学过一些函数图像的几何变换，这个例子给我们启示是：对于结构复杂的函数，若能把它看做是有某种基本函数经过某些几何变换所得，则根据基本函数的值域和几何变换的性质就能直观的求出该函数的值域。
例3.求
解：设
，则原函数可化为
而函数
由图像分析得到函数值域为
小结：这是典型利用换元法，化为熟知函数，这类问题的难点是能够认清函数本质上的函数形式，从而能顺利地转化，也就是说问题转化成为在指定区间上求基本函数的值域。易错点是在转化过程中，附加了新变量t的范围，这个范围往往容易丢掉，要引起注意。另外要强调的是在化基本函数过程中，注意数形结合。
例4.求函数
的值域。解：设
原函数可化为
∴原函数的值域为
小结：这道题方法和思路基本同上，而基本函数模型是二次函数。
例5.求函数
的值域。分析：对于分子、分母都为x的二次式的分式函数，分别配方后也易处理，因此需要探讨新的方法。
解：首先考察定义域，由分母
，则函数定义域D=R。由
可得：(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)=0当y=1时，上式变成2x=0，x=0∈D∴y=1是值域中的一个元素。
当y≠1时，上式可以看作是关于x的二次方程，因其根x为实数，
∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0，解之得
综上，y的取值范围(也就是函数的值域)为
小结：这道题应用判别式法(俗称△法)主要用来解分式函数求值域的问题，但在使用判别式法时要注意：由
y=f(x)变为a(y)x2+b(y)x+c(y)=0后，对于x2的系数a(y)应按a(y)=0与a(y)≠0分情况讨论。
例6.已知定义在(-∞，+∞)上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x>0时，f(x)=x2-2x+2，求函数f(x)的解析式。
分析：由图像的对称性可知，f(x)是奇函数，因而可根据奇函数的定义求解。但既然说是定义在全体实数上的函数，因而x=0时，f(x)有定义。不能忘了求f(0)。
解：当x<0时，-x>0，故
f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2
因函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，于是f(-x)=-f(x)，从而f(x)=-f(-x)=
-(x2+2x+2)=-x2-2x-2
又当x=0时，f(0)=f(-0)=-f(0)，从而f(0)=0，
因此f(x)在(-∞，+∞)上的解析式是
小结：
(1)若x=0在奇函数的定义域内，即其图像必过原点；
(2)由奇偶函数在原点一侧的解析式，必能求得它在原点另一侧的解析式，基本思想是通过“-x”实现转化；
(3)容易漏求当x=0时的解析式。
例7.已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)
解：观察函数，可知f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数，
令F(x)=f(x)+8，有F(-x)=-F(x)
∴F(2)=-F(-2)=-[f(-x)+8]=-(10+8)=-18 F(2)=f(2)+8=-18，
∴f(2)=-26
小结：此题关键在于如何处理f(x)表达式中“-8”这个“尾巴”，去掉它就可以得到一个奇函数。因此可构造一个新的函数F(x)=f(x)+8，就能让这个问题利用奇函数的性质解决。
四、自测练习题
1.函数y=|x-3|-|x+1|的值域是( )
(A)
(B)[-4，4] (C)
(D)R2.函数y=x2-4x+2(1≤x≤4)的值域是( )
(A)[-1,2] (B)[-2,2] (C)[-3,2] (D)[-1,3]
3.下列函数是偶函数的是( )
A、
B、
C、f(x)=x3+3x D、f(x)=x2+x+2
4.设y=f(x)，x∈R，为奇函数的一个充要条件是( )
A、f(0)=0 B、对任意x∈R，f(x)=0都成立
C、存在某个x0使得f(x0)+f(-x0)=0 D、对任意x∈R，f(x)+f(-x)=0都成立
5.若f(x)在[-5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )
A、f(-1)<f(-3) B、f(0)>f(1) C、f(2)>f(3) D、f(-3)<f(5)
6.奇函数y=f(x)(x∈R)的图象必过点( )
A、(a,f(-a)) B、(-a,f(a)) C、(a,-f(-a)) D、
7.已知f(x)是偶函数，定义域为R，它在
上递减，那么一定有( )(A)
(B)
(C)
(D)
8.函数
的值域是_______9.若函数f(x)=ax3+bx+7，且f(5)=3，则f(-5)=_____。
10.已知函数f(x)=ax2+(1-3a)x+a在区间
上递增，则a的取值范围是_______11.已知f(x)是定义在R上的函数，下列函数
(1)y=xf(x2)；
(2)y=-f(-x)；
(3)y=f(x)-f(-x)；
(4)y=-|f(x)|
中必为奇函数的有____
12.设函数y=f(x)是偶函数，其图象与轴有五个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和为____。
自测试题答案：
1.B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B
8.
9.11 10.
11.(1)(3) 12.0