北 京 四 中
编 稿：凌文伟 审 稿：凌文伟 责 编：邵剑英
用坐标表示对称例题选讲
数学(人教版)八年级上《轴对称》一章中的用坐标表示对称一节，是用代数分析的方法解决几何对称问题。这对于培养同学进一步运用数形结合思想，综合运用代数、几何知识解决问题，提高数学素养有一定帮助。
例1.已知：直线
(1)作直线
关于y轴的对称直线，并求出它的解析式。(2)作直线
关于x轴的对称直线，并求出它的解析式。
解：
(1)直线
与y轴交于A(0，2)点，与x轴交于B(-3,0)点作B(-3，0)点关于y轴的对称点B'两点作直线AB'，不难求出
∴直线
关于y轴的对称直线为
(2)如图所示，作A(0，2)点关于x轴的对称点A'(0，-2)，过A'、B两点作直线A'B
不难求出
由于图形的对称实质是点的对称，对于例1中求对称直线的解析式，还可以考虑从对称点之间的关系入手。
解：
(1)设点P(x,y)是所求对称直线上任意一点
则P(x,y)点关于y轴的对称点P'(-x,y)在直线
上
为所求(2)设点p(x，y)是所求对称直线上任意一点，则p(x，y)点关于x轴的对称点p'(x,-y)在直线
上
为所求
例2.已知：直线
试作关于直线x=3的对称直线，并求其解析式。解：如图所示，直线
与x轴交于A(4，0)点，与y轴交于B(0，2)点作点A(4，0)关于直线x=3的对称点A'(2，0)，作点B(0，2)关于直线x=3的对称点B'(6，2)过A'、B'点作直线A'B'。
设直线A'B'的解析式为y=kx+b
则
关于直线x=3的对称直线为
例2.利用对称点之间的关系入手解呢？
解法：设点P(x，y)是所求对称直线上任意一点，则点P(x，y)关于直线x=3的对称点P'(6-x，y)在直线
为所求
例3.已知：函数y=x-2的图象，试分别作下列函数的图象
(1)y=|x-2|;
(2)y=|x|-2;
分析：可先分别分析这两个函数的性质，然后找到它们分别与函数y=x-2的联系后，再依性作图
(1)函数y=|x-2|≥0，且当x=2时，有最小值0，另外
因此，作函数y=|x-2|的图象时，应保留函数y=x-2的图象在x轴上方的点(x≥2的部分)，而将x轴下方的射线(x<2的部分)，作关于x轴的对称射线即可
(2)函数y=|x|-2≥-2，并且当x=0时，有最小值-2，并且当x取互为相反数时，y有相同的值
因此，作函数y=|x|-2的图象时，应保留函数y=x-2的图象在y轴右侧(x≥0)的射线，而此函数的图象又关于y轴对称，只要舍去直线y=x-2在y轴左侧的部分，将y轴右侧的射线作关于y轴对称的射线即可。
例4.已知：点A(2，5)，B(4，-3)，在y轴上是否存在点P，使得PA+PB最短，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
解：存在这样的点P，理由如下，
作点A(2，5)关于y轴的对称点A'(-2，5)，连结A'B，交y轴于P点，则P点为所求(证明略)
∴直线A'B的解析式为
y-yB=KA'B(x-xB)即
当x=0时，
为所求。想一想，在y轴上是否存在一点M，使得|MA-MB|最大呢？
例5.已知：点A(-2，-1)，点B(-1，3)若线段AB关于y轴的对称线段是A1B1，线段A1B1关于直线x=4的对称线段的是A2B2。
(1)求点A2、B2的坐标；
(2)线段A2B2又可看成是线段AB经过怎样的变换得到的？
解：如图所示，
(1)点A(-2，-1)、B(-1，3)关于y轴的对称点分别是A1(2，-1)、B1(1，3)
点A1(2，-1)、B1(1，3)关于直线x=4的对称点分别是A2(6，-1)，B2(7，3)
(2)线段A2B2又可看成是线段AB沿x轴向右平移8个单位长度得到的。
