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撰　稿：武红梅　　编　审：赵　菁　　责　编：辛文升

高三函数复习

　　本周目标：建立函数的知识、方法及易错点体系

　　本周重点：函数的知识、方法及易错点

　　本周内容：
　　一、集合与映射
　　1．集合符号的正确使用：关注空集！
　　例 1、已知A=｛0，1｝，B=｛x∣x∈A｝,C=｛x∣xA｝,则A与B的关系是A=B ，A与C的关系是,B与C的关系是

　　例2、已知：①，②2000，③，
④. 正确式子的个数为（ D ）
　　A、1 　　B、2　　C、3　　D、4

　　2．集合运算与关系：注意数形结合！关注元素的形式！
　　例3、已知：则A∩B=, A∩C=, A∩=。

　　例4、I=｛(x,y)∣x∈R, y∈R｝,A=｛(x,y) ∣y = 2x+3｝,B=｛(x,y) ∣｝,
　　则A∩= .

　　3．文氏图的应用

　　4．求参数范围：定集合！数形结合！注意：验端点，想空集！
　　例5、设A=｛x∣x²-3x+2<0｝,B=｛y∣y = a - x²｝,若A∩B=φ,则a 的取值范围是,若A∩B≠φ,则a 的取值范围是,若AB,则a 的取值范围是.

　　5．子集个数问题：乘法原理！关注要求非空或真子集！
　　例6、，其中含个元素，含个元素（），则满足条件的的个数为__________.

　　6．映射：关注映射的有关概念！
　　例7、若集合，集合，是从到的映射，
, 则中元素的原象为 ．

　　二、函数的性质（定义域、法则即解析式、值域（含最值）、单调性、奇偶性、周期性、反函数）

　　1. 定义域：由定义域求参数范围正面求！注意定型！复合函数定义域关注谁是自变
　　例8、若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ B ）
　　(A)　　(B)　　(C)　　(D)

　　例9、已知函数的定义域为（0，3），则的定义域为；若的定义域为（0，3），则的定义域为；

　　2. 求解析式
　　（1）换元法：
　　（2）待定系数法：知函数形式
　　（3）图象变换法：关注变化方式！关注方向单位！
　　（4）性质（奇偶性周期性等）：关注特殊点！
　　（5）轨迹法（如相关点代入法等）

　　例10、把函数的图象沿轴向左平移一个单位后，得到图象C，则C关于原点对称的图象的解析式为
　　函数性质2：已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则=

　　3．求值域：关注定义域！
　　（1） 先看是否单调函数
　　（2） 常见非单调函数（在有限区间上）求值域（反比例、二次、三角等）
　　（3） 换元转化为（2）：关注新元范围！
　　（4） 平均不等式
　　（5） 几何法：和直线斜率、截距、和熟悉曲线联系！
　　（6） 其他
　　关注复合函数值域的求法！

　　例11、已知数列的通项，则数列的前30项中，则最大值项是第　 10　 项

　　例12、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到：共个数据。我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其它近似值比较，与各数据的差的平方和最小。依此规定，从推出　 =
　　关注由值域求参数范围：正面求！理解正确！

　　例13、已知函数f(x)=lg(x²-ax+a)的值域为R，则实数的取值范围为；

　　4．单调性：定义法！问哪从哪证！关注函数方程的结构及已知条件！关注定义域！
　　例14、设函数f(x)=lg(x²+ax-a-1),给出下述命题:
　　①f(x)有最小值
　　②当a=0时,f(x)的值域为R
　　③当a>0时,f(x)在区间[2, +∞)上有反函数
　　④若f(x)在区间[2, +∞]上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4.
　　则其中正确的命题是（2）、（3）。（要求:把正确命题的序号都填上）

　　5．奇偶性：关注定义域！
　　判定：先看定义域（如判断函数的奇偶性：奇）
　　判定方法：用定义；代入数验证+“”；图像

　　例15、函数中 ，h(x) 是奇函数，是偶函数.

　　6．周期性：与奇偶性、对称性结合；关注概念及图象！
　　例16、函数为偶函数，且对任意，都有，求证：函数为周期函数；（注：画图分析周期，然后用定义证明）

　　例17、已知函数的周期为T，则的周期为 .

　　例18、f(x)是定义在R上的偶函数，并满足 f(x+2)= 当2≤x≤3时，f(x)=x,则f(5.5)=( B )
　　(A)5.5　　(B)2.5　　(C)-2.5　　(D)-5.5

　　7．反函数：必须先求原函数值域；关注原函数的定义域！关注性质！
　　例19、函数的反函数是( C )
　　

　　8．性质的运用：关注各种性质的准确理解！
　　例20、若偶函数在上是增函数，则（ D ）。
　　A、　　B、
　　C、　　D、

　　三、具体函数（一次、二次*、幂指对、三角）
　　关注：图像与性质；定义域的作用；单调性的作用；
　　特别关注二次（一定一动：看开口、对称轴）
　　关注实根分布：数形结合！看开口、对称轴、Δ、区间端点符号；
　　例21、的定义域为D，如果对任意的，存在唯一的（C为常数）成立，则称函数在D上的均值为C。给出下列四个函数：
　　 则均值为2的函数为（3）　

　　例22、已知f(x)= x+4x+3,函数g(t)表示函数f(x)在区间[t,t+1] ,( t∈R)上的最小值,则g(t)=.

　　四、图象及图象变换
　　关注：图象（复合）变换：一定要写出中间变换过程（两个）；关注两个变换是有序还是无序；关注变换的方向和单位；
　　关注：看图识图及图象在解方程、不等式及求参数范围中的运用；关注特殊点；求参数时验端点！

　　例23、函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如下图所示，则y=f(x)·g(x)的图象可能是（ A ）

　　例24、设是定义在R上的奇函数，且在（0，+）上是增函数。又f(-3)=0,，则xf(x)≥0的解是 。

　　例25、设x∈(1,2)，则不等式恒成立时，的取值范围是

　　五、方程与不等式：关注等价！单调时底的影响！要有数形结合的意识！

　　六、恒成立问题：转化为函数最值问题！选好变量：谁变选谁！
　　例26、对于-1≤a≤1，不等式x²+(a-2)x+1-a>0恒成立的x的取值范围是（ B ）。
　　(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

　　七、函数大题
　　坚持从基本概念出发，注意寻找条件与结论间的关系，挖掘隐含条件。
　　例27、设二次函数，已知不论为何实数值，恒有。（1）求证：；（2）求证：；（3）若函数的最大值为8，求b、c的值。

　　证明：b+c=-1即证b+c+1=0，即证f(1)=0.
　　(1)∵ 不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0,
　　∴ 当时，f(1)≥0, β=π时，f(1)≤0, ∴ f(1)=0, ∴ b+c+1=0, ∴ b+c=-1.

　　证明：(2)∵ b+c=-1, ∴ b=-c-1, ∴ f(x)=x²-(c+1)x+c,
　　又∵ 对任意β恒有f(2+cosβ)≤0, ∴ β=0时，f(3)≤0.
　　即9-3c-3+c≤0, ∴ 2c≥6, ∴ c≥3.

　　解：(3)∵ f(sinα)=sin²α-(c+1)sinα+c, 令t=sinα, 则f(t)=t²-(c+1)t+c,
　　由已知：f(t)在[-1，1]上的最大值为8，又∵ c≥3,　　 ∴ t_对=,
　　∴ f(t)在[-1，1]上为减函数，∴ 8=f(-1)=2c+2c=3, 又b+c=-1, ∴ b=-4.

　　本周练习：
　　1．已知，求实数的取值范围；

　　（答案：）

　　2．给定映射，点的原象是________；

　　（答案：）

　　3．已知函数满足，则________

　　（答案：）

　　4．已知对任意有，则函数的周期为 ________

　　（答案：）

　　5．已知，则=________

　　（答案：1）

　　6．函数的最大值是，求实数的取值范围

　　（答案：）

　　7．实数为何值时为奇函数？

　　（答案：）

　　8．函数的反函数________

　　（答案：）

　　9．函数的单调递增区间为________

　　（答案：画图象：）

　　10．已知函数是R上的偶函数，且是R上的奇函数，且对任意都有，则= ________

　　（答案：=）

　　11．已知函数的定义域为R，集合，，则集合M、N的关系为________

　　（答案：小推大）

　　12．若集合M、N满足，则称（M，N）为集合A的一种分拆，并且规定当且仅当M=N时，
（M，N）与（N，M）为集合A的同一种分拆。则集合A=的不同分拆数为________

　　（答案：27）

　　13．设集合，，若，则实数_______

　　（答案：）

　　14．集合，且集合A的元素中至少有一个奇数，则这样的集合A共有________个

　　（答案：11）

　　15．在正实数集上定义一种运算*：当。根据这个定义，3*x=27中的x的值为________

　　（答案：3或）

　　16． 函数

　　（答案：）

　　17．，则在定义域上的单调性与奇偶性为________

　　（答案：奇、增）　　

　　18．是增函数，且若的反函数的定义域为，则的定义域为________

　　（答案：）

　　19．函数及，定义函数为：当时，=；当时，=；则的最大值为________

　　（答案：2）

　　20．函数的定义域为R，且，已知为奇函数，当时，，那么当时的递减区间是________

　　（答案：）

　　21．定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)。
　　（1）求f(0)；
　　（2）求证：对任意x∈RR，有f(x)>0；
　　（3）求证：f(x)在R上是增函数；
　　（4）若f(x)f(2x-x²)>1，求x的取值范围。

　　答案：(1)f(0+0)=f²(0),又f(0)≠0, ∴ f(0)=1.

　　(2) x>0时，f(x)>1>0
　　x=0时，f(x)=1>0
　　x<0时，-x>0且f(x-x)=f(x)·f(-x), 其中f(-x)>0, f(0)>0, ∴ ,
　　∴ 任意x∈R,　 f(x)>0.

　　(3) 对任意 -∞<x₁<x₂<+∞, 有x₂=x₁+(x₂-x₁), x₂-x₁>0
　　∴ f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)-f[x₁+(x₂-x₁)]
　　=f(x₁)-f(x₁)f(x₂-x₁)=f(x₁)·[1-f(x₂-x₁)]
　　∵ x₂-x₁>0, ∴ f(x₂-x₁)>1, ∴ 1-f(x₂-x₁)<0
　　又f(x₁)>0
　　∴ f(x₁)-f(x₂)<0, ∴ f(x₁)<f(x₂), ∴ f(x)在R上是增函数。

　　(4) ∵ f(x)f(2x-x²)=f(3x-x²)
　　f(0)=1
　　∴ f(x)f(2x-x²)>1, 即f(3x-x²)>f(0)
　　∵ f(x)在R上增，∴ 即3x-x²>0
　　解之有 0<x<3 .